Ảo thuật Toán: đằng sau những phép tính nhanh

Chúng ta đã không dưới một lần trầm trồ trước các màn ảo thuật toán, làm thế nào để họ có thể đoán ra những con số, những kết quả của phép tính hay đến như vậy. Hãy cùng Menback làm rõ và hiểu hơn về ảo thuật với những con số trong bài viết này của Monster Box.

*(Tác giả không gọi những người dùng toán học để biểu diễn là nhà toán học, vì việc dùng toán biểu diễn không nói lên họ là nhà toán học, và ngược lại)

Dường như có rất nhiều người sợ toán hay sợ những người giỏi toán, bất kể là thực sự sợ hay chỉ đùa cho vui. Vì quả thực tồn tại kha khá chuyện đùa về những nhà toán học được mô tả như người ngoài hành tinh, đầu xù tóc rối, ngồi nói chuyện với nhau bằng thứ ngôn ngữ kỳ lạ có nguồn gốc từ vũ trụ.

Ngay cả khi bạn không sở hữu định kiến như vừa đề cập, không thể phủ nhận rằng văn hóa phẩm đại chúng hiện nay đang xây dựng những hình ảnh gần như thế.

Dù nỗi sợ toán có phổ biến hay không, việc phổ biến của những trò đùa như thế về toán dẫn đến hai kết luận: (1) hầu hết chúng ta thần thánh toán học quá mức và (2) những người giỏi toán được gắn một định kiến tương đối đặc thù hơn so với nhiều ngành nghề khác (ví dụ một thợ mộc lành nghề), thậm chí so với các ngành học khác (sử gia, kỹ sư hóa học…).

Cũng chính bởi lý do trên, khi chúng ta thấy một người dùng toán học để biển diễn, thái độ chúng ta đối với họ cũng có sự khác biệt đối với các hình thức biểu diễn khác – chúng ta nhìn họ như những thiên tài có khả năng trời phú.

Bài viết không đào sâu về việc những người những người dùng toán học để biểu diễn có giỏi toán hay không, đây là một câu chuyện khác. Niềm đam mê của họ dành cho toán, hay ít nhất là những con số, là điều chắc chắn.

Làm rõ chỗ này là điều cần thiết, vì chuyện bài viết nói rằng những người dùng toán học biểu diễn không có gì đặc biệt hay kì diệu, không có nghĩa là toán học không kì diệu. Thậm chí ngược lại, nhờ sự kì diệu và vẻ đẹp của những quy luật toán học khiến cho những thứ hiển nhiên lại có thể trở thành những màn biểu diễn vô cùng ngoạn mục.

Hôm nay, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu xem những quy luật đẹp đẽ nào của toán đã giúp những “nhà ảo thuật toán học” tạo ra màn biểu diễn nức lòng người hâm mộ trong mắt nhiều người.

Những quy luật hiển nhiên

Đây là những màn biểu diễn thường gặp nhất, và dễ thực hiện nhất, không chỉ được sử dụng trong những buổi diễn chuyên nghiệp, mà còn xuất hiện nhiều ở những cuộc thách đố bạn bè vui vẻ, hoặc những cuộc nói chuyện trà dư tửu hậu.

Một ví dụ cho tiết mục kiểu này diễn ra như sau:
– Bước 1: Nhà ảo thuật chọn một người trong khán phòng, suy nghĩ một con số có 3 chữ số trong đầu (số hàng trăm với hàng đơn vị không trùng nhau), đương nhiên là không cho nhà ảo thuật biết. Giả sử số đó là 843.
– Bước 2: Đảo vị trí số hàng trăm và hàng đơn vị của số vừa nghĩ, ta được số thứ hai, sau đó lấy số lớn hơn trong hai số trừ số còn lại. Ở đây ta có 843 – 348 = 495.
– Bước 3: Với kết quả vừa thu được, đảo vị trí số hàng trăm và hàng đơn vị của nó, ta được một số mới, cộng kết quả trên và số mới có. Ở đây ta có 495 + 594 = 1089. Con số kết quả này được đọc to lên bởi người được mời.

Khi đó, nhà ảo thuật móc trong túi ra một tờ giấy ghi rõ nét số 1089 trước sự ngạc nhiên của mọi người, như thể anh đã dự đoán kết quả từ 5 phút trước đó – mặc dù khách mời và con số ban đầu họ lựa chọn là hoàn toàn ngẫu nhiên.

Khi ngồi trong khán phòng đó, được theo dõi từ đầu tới cuối màn biểu diễn, vì không biết trước nhà ảo thuật sẽ làm gì (điều này là cực kỳ quan trọng với một màn biểu diễn toán học), cộng với khả năng các thủ thuật tâm lý, chúng ta sẽ vô cùng ngạc nhiên và thích thú. Tuy nhiên, hãy xem xét thử nếu từ đầu, con số được chọn khác đi thì sao. Chúng ta hãy làm lại các bước với một số khác, 725 chẳng hạn.

Thứ tự diễn ra như sau:
– Bước 1: Ta có số 725.
– Bước 2: 725 – 527 = 198.
– Bước 3: 198 + 891 = 1089.

Kết quả như đã thấy, vẫn là 1089, và cho dù cho thử 100 lần với 100 lựa chọn khác nhau của số ban đầu, kết quả vẫn trả về là 1089. Vậy, vì sao lại có chuyện như thế?

Thật vậy, cho dù số ban đầu ta đã chọn là gì, ví dụ là số abc bất kì, số đảo ngược của nó sẽ là cba, và làm như bước 2 ở trên ta sẽ có đẳng thức:

abc - cba = 100.a + 10.b + c - 100.c - 10.b - a = 99(a - c)

Do a-c là số có 1 chữ số, kết quả ở bước này sẽ nằm trong các trường hợp sau:

891, 792, 693, 594, 495, 396, 297, 198

Và tổng các số đảo ngược của nó luôn bằng 1089:
891 + 198 = 1089
792 + 297 = 1089
693 + 396 = 1089
594 + 495 = 1089
495 + 594 = 1089
396 + 693 = 1089
297 + 792 = 1089
198 + 891 = 1089

Ngoạn mục không? Có. Kì diệu không? Có luôn. Nhưng đồng thời cũng rất hiển nhiên, và đây chỉ là quy luật toán học căn bản, chẳng có phép thần thông nào ở đây cả, bản thân các quy luật này đã chứa đựng sự kì diệu của riêng nó, nhà ảo thuật chỉ là người hiểu và vận dụng nó đúng cách.

Đương nhiên phía trên chỉ là một màn biểu diễn đơn giản, thường chỉ dùng như màn dạo đầu cho những tiết mục phức tạp hơn, và để trở thành một nhà biểu diễn toán học cần nhiều thứ hơn là thế. Ví dụ:

Các mánh mẹo ẩn bên trong con số

Lần biểu diễn này, nhà ảo thuật yêu cầu khán giả dùng máy tính thực hiện một phép chia một số có 2 chữ số cho một số khác có 1 chữ số, anh ta tuyên bố sẽ đọc nhanh kết quả tính đến 5-6 chữ số sau phần thập phân chỉ sau 1s.

Ví dụ:
Khán giả cho số: 25/7
Nhà ảo thuật trả lời ngay: 3,5714285…

Lưu ý là trong màn biểu diễn này nhà ảo thuật thường cố gắng đọc rất nhanh kết quả, chứng minh cho khán giả thấy là không có sự dừng lại để tính toán từng số sau dấu phẩy. Tại sao họ lại làm được như thế.

Thực ra chỉ với một số ghi nhớ và mánh mẹo nhỏ, mọi chuyện trở nên hết sức đơn giản.

Ở đây có một thủ thuật tâm lý, khán giả sau khi dùng máy tính, sẽ tự loại trừ hầu hết các trường hợp, đa phần chọn số chia cho 7. Vì:
– Nếu 1 số chia cho 2, phần thập phân của nó nếu có chỉ là x,5.
– Nếu 1 số chia cho 3, phần thập phân chỉ có 2 trường hợp x,333… và x,666…
– Nếu 1 số chia cho 4, phần thập phân chỉ có 3 trường hợp là x,25, x,5 và x,75….

Nếu lựa chọn những trường hợp này, nhà ảo thuật thậm chí còn thực hiện dễ dàng hơn. Vì vậy, đa số sau khi thử bấm máy tính sẽ chọn một phép chia được thực hiện ở số 7.

Hãy nhìn dãy số 3,571428… đầy cuốn hút, đầy ma mị mà bất cứ khán giả nào cũng “Oh, đây rồi, hãy thực hiện phép tính này đi…” ngay khi bắt gặp nó. Và đương nhiên đổi lại sau đó là sự thán phục họ dành cho nhà ảo thuật vì anh ta sẽ đọc vanh vách chính xác từng số trên màn hình máy tính của họ.

Tuy nhiên, chúng ta hãy xem xét lại ở đây một tí.

Với trường hợp chia cho 7, nếu biểu diễn dưới dạng số dư, chúng ta sẽ chỉ có 6 trường hợp, kết quả có số dư là 1,2,3,4,5,6. Vì vậy, cũng chỉ có 6 kiểu số thập phân được biểu diễn:

8/7 = 1.142857…
9/7 = 1.285714…
10/7 = 1.428571…
11/7 = 1.571428…
12/7 = 1.714285…
13/7 = 1.857142…

Trong 6 trường hợp số thập phân nằm phía sau dấu phẩy này, bản thân chúng cũng giới hạn trong các trường hợp nhất định, dễ dàng thấy kết quả chỉ là sự đổi vị trí của các chữ số 1 – 2 – 4 – 5 – 7 – 8.

Cụ thể chỉ cần ghi nhớ kỹ dãy số: 142857 dành cho các trường hợp số chia 7 dư 1.

Chỉ cần đảo số 1 về sau dãy đó là có kết quả của phép tính chia 7 dư 3: 428571.

Đảo một số tiếp theo của dãy mới sẽ có kết quả của phép tính chia 7 dư 2: 285714.

Tiếp tục như thế sẽ có kết quả của phép tính chia 7 dư 6: 857142.

Và cứ thế, chỉ cần ghi nhớ một dãy số, thứ tự đảo số, cộng thêm một chút tập luyện để thuần thục trong việc ghi nhớ, nhà ảo thuật đã có thể làm khán giả tưởng chừng như anh ta có thể tính nhẩm nhanh hơn cả máy tính, dù anh ta không hề tính mà chỉ học thuộc lòng.

Tất nhiên, khi biểu diễn, một ảo thuật gia toán học chuyên nghiệp phải biết cách dẫn dắt cho tâm trí khán giả cảm thấy bị choáng ngợp và cuốn hút vào màn biểu diễn của mình. Tôi từng nhìn thấy một số màn biểu diễn trên tivi của những chương trình tìm kiếm tài năng có thể thu hút và làm ngạc nhiên hàng triệu khán giả chỉ với vài quy luật đơn giản và cho ra kết quả hoàn toàn hiển nhiên. Đặc biệt là khi anh ta kết hợp màn ảo thuật với các dụng cụ khác như xúc xắc, hoặc bài tây… để xếp đáp án.

Và lẽ dĩ nhiên, nếu chỉ với vài quy luật và mánh mẹo đơn giản, thì những người dùng toán học để biểu diễn vẫn chưa đủ để được đánh giá cao đến thế trong lòng người hâm mộ, cho nên chúng ta đến với:

Sự khổ luyện với các con số

Năm 2014 – Tsujikubo Rinne, một cô bé 9 tuổi người Nhật Bản đã làm dậy sóng toàn thế giới khi đánh bại toàn bộ đội siêu trí tuệ người Trung Quốc với khả năng tính nhẩm nhanh thần tốc của mình.

Năm 2020 – cuộc đối đầu giữa bé Gia Hưng – 13 tuổi và Tsujikubo Rinne trong lĩnh vực tính nhẩm nhanh đã khiến khán giả truyền hình cả nước Việt Nam nghẹt thở. Những con số chạy cực nhanh trên màn hình, những phép nhân hàng chục chữ số và kết quả đúng liên tục được đưa ra bởi hai bạn nhỏ.

Bên cạnh sự thán phục dành cho 2 thí sinh, cũng có những nhiều đồn đoán được đưa ra từ hướng ngược lại: đây chỉ là chương trình được sắp đặt trước, những con số trong cuộc thi không hề ngẫu nhiên và thí sinh đã biết trước kết quả. Thậm chí còn có nhiều ý kiến cho rằng đây chỉ là trò bịp bợm không hơn không kém.

Như đã nói ở đầu bài viết, hầu hết chúng ta sợ toán, cho nên những người giỏi tính phía trên hoặc được cho là thiên tài, hoặc là kẻ bịp, rất ít người xem họ cũng chỉ là những người bình thường như chúng ta, những người bỏ công sức ra tập luyện để đạt được một khả năng nào đó.

Đôi khi tôi tự hỏi sự khác biệt ở đâu giữa người chạy nhanh nhất, với một người tính nhẩm nhanh nhất, để một bên được ca ngợi vì nghị lực và sự tập luyện miệt mài, với một bên được cho là dị nhân may mắn (hoặc xui xẻo) được sinh ra với bộ não của máy tính điện tử. Qua một số nghiên cứu khảo sát của riêng tôi, câu trả lời có thể xoay quanh “sự hình dung”.

Khi nhìn một vận động viên điền kinh, phần nào đó trong chúng ta hình dung đến quá trình tập luyện của họ để đạt được tới thành tích ngày hôm nay. Nhưng khi nhìn một nhà toán học, ít ai nghĩ tới hình ảnh họ đổ mồ hôi, sôi nước mắt từ ngày này qua ngày khác, thực hiện những công việc nghiêm túc cần mẫn như bao công việc khác, để đạt được một thành tựu nào đó.

Những chuyên gia tính nhẩm cũng thế, để làm được những điều chúng ta thấy, họ phải luyện tập mỗi ngày. Ngược lại, ai trong chúng ta cũng có thể tính nhẩm cực nhanh nếu luyện tập chăm chỉ và đúng phương pháp.

Nói qua một chút về phương pháp tập luyện của những chuyên gia tính nhẩm. Họ đang tập luyện dựa trên nguyên lý hình ảnh hóa các con số phức tạp, cụ thể hơn, họ chuyển các con số và phép tính thành hình ảnh và chuyện động của các hạt bàn tính, sau đó chuyển hình ảnh cuối cùng nhận được từ các hạt đó về con số và đưa ra câu trả lời. Bộ môn sử dụng bàn tính này gọi là toán Soroban, hoặc Abacus (hình ảnh bộ bàn tính kiểu này có thể xem thêm ở phần comment) – bàn tính mà bạn hay thấy trong các bộ phim cổ trang Trung Quốc, Nhật Bản.

Cấu tạo bàn tính Soroban gồm:

Khung bàn tính hình chữ nhật, là bộ phận bao quanh bàn tính, mọi thao tác tính toán sẽ diễn ra bên trong khung này.
Các thanh dọc song song với cạnh ngắn của khung bàn tính dùng để xỏ các hạt.
Một thanh ngang song song với cạnh dài của khung bàn tính dùng để chia tách các hạt có giá trị khác nhau.
Hạt bàn tính: phía dưới thanh ngang có 4 hạt, mỗi hạt dưới có số đơn vị là 1. Phía trên thanh ngang có 1 hạt, mỗi hạt có số đơn vị là 5.

Cách sử dụng bàn tính Soroban rất đơn giản, gạt các hạt theo quy luật định sẵn để thực hiện phép tính (mọi người có thể trải nghiệm bàn tính Soroban ở đường link nằm dưới phần bình luận).

Tương tự như thế, các cột sẽ được biểu trưng cho số hàng chục, hàng trăm, hoặc số thập phân tùy vào mốc chọn cột đơn vị ban đầu, thông thường cột đơn vị được chọn là cột thứ tư từ bên phải đếm sang, nằm bên cạnh cột đơn vị về phía bên phải là số thập phân, nằm bên trái cột đơn vị là hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn…

Với bộ bàn tính đơn giản như thế, cùng với một số công thức để có thể tính toán nhanh hơn, Soroban có thể tính được những dãy số cực dài và phức tạp, bao gồm cộng trừ nhân chia. Với sự luyện tập cần mẫn và đều đặn, khi các chuyên gia tính nhẩm nhìn thấy một phép tính, trong đầu họ có thể chuyển ngay sang hình ảnh các hạt bàn tính chuyển động, và quy về kết quả một cách nhanh chóng. Chúng ta ghi nhớ, hình dung và gọi về ký ức hình ảnh tốt hơn, vì vậy việc tính toán này sẽ hiệu quả hơn.

Tất nhiên biết được phương pháp chưa thể giúp bạn có thể tính toán cực nhạnh. Muốn làm được điều đó, chúng ta phải trải qua thời gian dài tập luyện nghiêm túc và liên tục. Đó cũng là điều các chuyên gia tính nhẩm đã làm. Nhưng ít nhất, điều đó nói lên rằng họ cũng chỉ là những người bình thường như chúng ta, và chỉ giỏi tính nhẩm, không nhất thiết là những người giỏi toán.

Đương nhiên, với những bài thi, khả năng khác nhau sẽ đòi hỏi phương pháp luyện tập và sự đầu tư khác nhau tương ứng. Trên đây chỉ là ví dụ cho việc tính nhẩm nhanh các phép cộng trừ nhân chia. Với các yêu cầu khác như khai căn bậc 47 cho một số có mười lăm chữ số lại là một vấn đề khác nữa.

Tuy vậy, mặc dù chúng tôi không đề cập đến từng trường hợp cụ thể, phần lớn chúng đều tuân theo các quy luật toán học và đã được giáo trình hóa thành những kỹ thuật tính toán cụ thể.

Không có bí mật

Như đã nói, trên đời này rất ít thứ vừa đẹp, vừa tinh tế mà lại miễn phí cho tất cả mọi người như toán. Hiểu được một vấn đề nan giải trong toán học đòi hỏi một sự nghiêm túc phi thường, và vì vậy, toán mới hấp dẫn loài người đến vậy.

Nhà biểu diễn toán học, với niềm đam mê với các con số, dù dùng phương pháp nào cũng đã mang đến cho khán giả những màn trình diễn ngoạn mục chỉ với trí óc đơn thuần, hầu như không cần đến các dụng cụ chuyên biệt như các màn trình diễn khác.

Khác với các màn ảo thuật thông thường, sự hứng thú của chúng ta đối với màn biểu diễn không mất đi, mà thậm chí còn có phần tăng thêm khi được nghe tiết lộ về phương pháp người biểu diễn đã sử dụng. Chính vì thế các nhà ảo thuật toán cũng rất hay giải thích cho mọi người hiểu vì sao họ làm được như thế, họ đã dùng công thức nào, con số hiện ra nó hiển nhiên ra sao. Biết rằng việc tiết lộ bí mật của một màn ảo thuật (ngoài ảo thuật toán) là một điều cấm kỵ đối với các ảo thuật gia chuyên nghiệp, đây là luật bất thành văn của dân trong nghề.

Ảo thuật toán có đặc quyền riêng của nó.

Rộng hơn, toán học và khoa học nói chung cũng không giữ lại cho mình bất kỳ bí mật nào. Họ luôn trưng ra hết tất cả mọi thứ với công chúng, cách họ làm ra điện thoại thông minh, công nghệ đã giúp các nhà khoa học ra ngoài vũ trụ hay lý thuyết nào đã giúp con người “nhìn thấy” thế giới hạ nguyên tử. Hoàn toàn trái ngược với những “bí kíp” luôn bị che đậy, “thiên cơ bất khả lộ” của những trò mê tín dị đoan.

Vì phía sau đó là một thứ gì đó không hay ho và không kỳ diệu lắm? Tôi hỏi cho một người bạn.